Optimal mass transportation and Mather theory

We study the Monge transportation problem when the cost is the action associated to a Lagrangian function on a compact manifold. We show that the transportation can be interpolated by a Lipschitz lamination. We describe several direct variational problems the minimizers of which are these Lipschitz laminations. We prove the existence of an optimal transport map when the transported measure is absolutely continuous. We explain the relations with Mather’s minimal measures. Résumé: On étudie le problème de transport de Monge lorsque le cout est l’action associée à un Lagrangien sur une variété compacte. On montre que le transport peut être interpolé par une lamination lipschitzienne. On décrit plusieurs problèmes variationnels directs dont ces laminations sont les minimiseurs. On montre l’existence d’une application de transport optimale lorsque la mesure transportée est absolument continue. On explique les relations avec les mesures minimisantes de Mather. Patrick Bernard Institut Fourier, Grenoble, on move to CEREMADE Université de Paris Dauphine Pl. du Maréchal de Lattre de Tassigny 75775 Paris Cedex 16 France [email protected] Boris Buffoni School of Mathematics École Polytechnique Fédérale-Lausanne SB/IACS/ANA Station 8 1015 Lausanne Switzerland [email protected]